度和湿度的剧烈波动，都会造成时钟的齿轮生锈、弹簧变松、润滑剂变黏稠，面对这些可能导致走时变快、变慢或停止的因素，时钟必须始终保持其精确度。
在建造出摆钟并利用它解决经度问题之前，伽利略就去世了。克里斯蒂安·惠更斯把他的摆钟作为一种可能的解决方案，提交给伦敦皇家学会，但并没有得到学会的认可，因为这些摆钟对外界干扰过于敏感。惠更斯后来发明了一种航海天文钟，它的走时不是由钟摆而是由平衡摆轮和平面涡卷弹簧控制的，这种创新性设计为怀表和现代腕表的发明铺平了道路。不过一种新型时钟最终解决了经度问题，它是由英国人约翰·哈里森在18世纪中期发明的，尽管哈里森并未接受过正规教育。在18世纪60年代的海上测试中，他的H4航海钟追踪经度的精确度达到了10英里，当之无愧地赢得了英国议会的两万英镑（相当于今天的几百万美元）奖励。
在我们的时代，地球上的导航问题仍然依赖于对时间的精确测量。以GPS[7]为例。就像机械时钟是解决经度问题的关键一样，原子钟是将地球上所有事物的定位精确到几米之内的关键。原子钟是伽利略摆钟的现代版本，尽管它和摆钟一样，也是通过计数振动次数来计时，但它追踪的并不是摆锤的来回摆动，而是计数铯原子在其两种能态间来回转换时的振动次数，这种能态转换每秒钟要进行9 192 631 770次。虽然原子钟和摆钟的运行机制不同，但原理是一样的，即重复性的往复运动可以用来计时。
反过来，时间也可以确定你的位置。GPS的24颗卫星在12 000英里的高空绕轨运行，当你使用汽车上的GPS导航仪时，你的设备至少会从其中的4颗卫星那里接收无线信号。每颗卫星都搭载着4台原子钟，它们的时间精密度均可达到纳秒（十亿分之一秒）级。你的接收器会收到多个可见卫星发出的一连串信号，其中每个信号的时间戳都可精确到纳秒。这正是需要用到原子钟的地方，它们惊人的时间精密度被转化成我们期望GPS具有的空间精密度。
相关计算过程则依赖于三角测量，它是一种基于几何学的古代地理定位方法。对GPS而言，它的工作原理是：当接收器收到来自4颗卫星的信号时，你的GPS设备会比较信号的发送时间和接收时间。这4组时间略有不同，因为这4颗卫星和你之间的距离并不一样。你的GPS设备将这4个微小的时间差乘以光速，就可以计算出你和这4颗卫星之间的距离。由于卫星的位置已知，并且受到极其精确的控制，因此你的GPS接收器可以对这4个距离做三角测量，从而确定它自己在地球表面的位置。此外，它还可以计算出自己的海拔和速度。本质上，GPS是将非常精确的时间测量值转换为非常精确的距离测量值，然后进一步转化为非常精确的位置和运动测量值。
GPS是由美军在冷战期间开发的，它的初衷是追踪携带核导弹的美国潜艇，并为它们提供当前位置的精密估计值，以便在需要发动核打击的时候，能使它们的洲际弹道导弹十分精确地瞄准目标。如今，GPS在和平时期的应用包括：精细农业，飞机在大雾中的仪表着陆，以及可以自动为救护车和消防车计算最快路线的增强型911系统。
然而，GPS不只是一个定位和导航系统。它使时间同步的精密度达到100纳秒以内，有助于协调银行转账和其他金融交易。GPS还让无线电话和数据网络保持同步，使它们能更高效地共享电磁波谱中的频率。
我之所以做出这么详细的说明，是因为GPS是展现微积分的隐藏用途的典型例子。通常情况下，微积分都是在我们日常生活的背后默默地发挥着作用。就GPS而言，这个系统的几乎所有功能都取决于微积分。想想卫星和接收器之间的无线通信，通过麦克斯韦所做的研究，微积分预言了电磁波的存在，从而使无线通信成为可能。所以，没有微积分，就不会有无线通信和GPS。同样地，GPS卫星上的原子钟利用的是铯原子的量子力学振动，而微积分是量子力学方程及其求解方法的基础。所以，没有微积分，就不会有原子钟。虽然我还可以继续说下去，比如，微积分是计算卫星轨道和控制卫星位置的数学方法的基础，当原子钟高速运动或在弱引力场中运动时，微积分也是把爱因斯坦的相对论改正与原子钟时间结合在一起的数学方法的基础，但我希望把重点说清楚。微积分为很多使GPS成为可能的技术研发创造了条件，当然，微积分并不能独立做到这一切。尽管它是一个配角，却是一个重要的配角。和电气工程学、量子物理学、航空航天工程学等学科一样，微积分也是这个团队中不可或缺的一部分。
所以，让我们再回头看看那个坐在比萨大教堂里，思索着吊灯摆动问题的青年伽利略。我们现在知道，虽然他对钟摆及其摆动的等时性所做的思考看似无用，但实际上对文明的进程——不仅对他的时代，也对我们的时代——产生了巨大的影响。
[1] chandelier swaying overhead: Fermi and Bernardini, Galileo and the Scientific Revolution, 17–20, and Kline, Mathematics in Western Culture, 182.
[2] “Thousands of times I have observed”: Galileo, Discourses, 140, http://oll.libertyfund.org/titles/753#Galileo_0416_338.
[3] “the lengths are to each other as the squares”: Ibid., 139, http://oll.libertyfund.org/titles/753#Galileo_0416_335.
[4] “may appear to many exceedingly arid”: Ibid., 138, http://oll.libertyfund.org/titles/753#Galileo_0416_329.
[5] Josephson junction: Strogatz, Sync, chapter 5, and Richard Newrock, “What Are Josephson Junctions? How Do They Work?,” Scientific American,https://scientificamerican/article/what-are-josephson-juncti/.longitude problem: Sobel, Longitude.
[6]1英里≈1.609千米。——编者注
[7] global positioning system: Thompson, “Global Positioning System,” and 2768.Johannes Kepler: For Kepler’s life and work, see Owen Gingerich, “Johannes https://gps.gov.
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